Metodo Kirchhoff: risoluzione reti lineari AC e DC
Introduzione al modello matematico attraverso le leggi KVL e KCL
Gustav Robert Georg Kirchhoff (1824 – 1887) è stato un fisico e matematico tedesco che, nel 1845, formulò le teorie legate alla conservazione della carica e dell’energia nei circuiti a parametri concentrati.
Nello specifico formulò due leggi che, ad oggi, sono alla base tutti i modelli matematici utilizzati sia nei circuiti lineari alimentati in DC sia nei circuiti lineari alimentati in AC. Tali leggi infatti presero il nome di:
- KCL (Kirchhoff’s Current Law), in italiano detta anche legge ai nodi, detta prima legge di Kirchhoff.
- KVL (Kirchhoff’s Vortage Law), in italiano detta anche legge alle maglie, detta seconda legge di Kirchhoff.
Prima di procedere quindi è doveroso fare una breve descrizione di un circuito elettrico e delle parti che lo compongono.
Prendendo in esame il circuito proposto, composto da cinque resistori e due generatori di tensione, possiamo definire:
Un nodo elettrico è un punto specifico (nella realtà un morsetto o una connessione di derivazione) nella quale si uniscono tra loro più estremità di rami diversi. In questo punto ci sono correnti entranti e correnti uscenti. Nello schema proposto si possono individuare due nodi elettrici.
Esempio di nodi elettrici
sono presenti 2 nodi
Un ramo elettrico coincide con una tratta di cavo e componenti in serie tra loro racchiusi tra due nodi. Si può intendere ramo anche ogni singola tratta attraversata dalla medesima corrente elettrica e contenuta tra due nodi.
Esempio di rami elettrici
sono presenti tre rami
Una maglia elettrica è un anello chiuso all’interno di un circuito (che include quindi più rami).
Esempio di maglie elettriche
Sono presenti 3 maglie.
Come anticipato, la prima legge di Kirchhoff riguarda l’analisi dei nodi. Essi possono esser interpretati come un vero e proprio incrocio stradale dove vi sono correnti che arrivano e correnti che se ne vanno, o meglio, correnti entranti nel nodo e correnti uscenti dal nodo. La legge KCL, per quanto banale e ovvia possa essere, è alla base di ogni studio elettrotecnico:
La somma aritmetica delle correnti entranti in un nodo coincide con la somma aritmetica delle correnti uscenti
oppure
La somma tra tutte le correnti entranti (indicate con segno positivo per convenzione) e tutte le correnti uscenti (indicate con segno negativo per convenzione) deve risultare 0.
Quindi a livello matematico possiamo esprimere
\( \sum_{n=1}^{n} I_{n(ENTRANTI)} = \sum_{n=1}^{n} I_{n(USCENTI)}\)oppure
\( \sum_{n=1}^{n} I_{n(ENTRANTI)} – \sum_{n=1}^{n} I_{n(USCENTI)} = 0\)
Prendendo in esame quindi il nostro circuito possiamo dichiarare quindi che:
nodo superiore I1 + I3 = I2
nodo inferiore I2 = I1 + I3
La seconda legge di Kirchhoff KVL, invece, riguarda l’analisi delle maglie. Esse, come già detto, possono esser individuate da un anello (percorso) chiuso all’interno del circuito coinvolgendo di fatto due o più rami. Si vanno ad osservare le tensioni e si dovrà rispettare la segmentante regola:
La sommatoria delle tensioni concordi dovrà esser uguale alla sommatoria delle cadute di tensioni (tensioni discordi).
oppure
La sommatoria tra le tensioni concordi (indicate con segno positivo) e la sommatoria delle tensioni discordi (indicate con segno negativo) deve risultare 0
Quindi a livello matematico possiamo esprimere
\( \sum_{n=1}^{n} V_{n(concordi)} = \sum_{n=1}^{n} V_{n(discordi)}\)oppure
\( \sum_{n=1}^{n} V_{n(concordi)} – \sum_{n=1}^{n} V_{n(discordi)} = 0\)
L’errore tipico da evitare è la gestione dei versi delle tensioni: tipicamente si indica in senso orario il verso di tensione (e di corrente uscente) del primo generatore e di conseguenza gli altri sarà facile individuarli. I carichi avranno caduta di tensione opposta al verso della corrente e i versi di eventuali altri generatori di tensione o corrente saranno indicati dalle corrispettive polarità.
M1 –> E1 – R1I1 – R2I2 – R3I2 – R4I1 = 0
M2 –> R3I2 + R2I2 + R5I3 – E2 = 0
M3 –> E1 – R1I1 + R5I3 – E2 – R4I1 = 0
Prima di procedere domandiamoci: perché utilizzare il metodo di risoluzione Kirchhoff? Molto semplicemente vi sono alcuni casi in cui, dati molti generatori, dati carichi connessi in particolare modo, non è possibile risolverli con le relazioni base del mondo elettrotecnico. Ecco quindi che viene in soccorso non una formula ma un vero modello matematico da seguire.
Ora, avendo tutto il materiale per procedere al metodo di risoluzione matematico, si può apprendere il numero di equazioni delle quali si ha bisogno per risolvere un certo circuito.
- ( n – 1 ) equazioni ai nodi (dove n rappresenta il numero di nodi presenti nel circuito).
- l – ( n – 1 ) equazioni alle maglie (dove l rappresenta il numero di rami elettrici).
Le equazioni si possono scrivere in modo arbitrario purché si utilizzi, nelle equazioni alle maglie, almeno una maglia che comprenda il generatore.
Tornando al nostro esempio quindi sarà necessaria una equazione ai nodi e due equazioni alle maglie (nell’esempio sotto riportato si sono scelte M1 e M2).
\(\left\{\begin{matrix}
I_{1} + I_{3} = I_{2}\\
E_{1} – R_{1}I_{1} – R_{2}I_{2} – R_{3}I_{2} – R_{4}I_{1}= 0 \\
R_{3}I_{2} + R_{2}I_{2} + R_{5}I_{3} – E_{2} = 0\\
\end{matrix}\right.
\)
A questo punto si può procedere alla risoluzione matematica.
N.B. Può capitare che all’interno del circuito elettrico siano presenti anche dei generatori di corrente. In tal caso il numero di equazioni necessarie alla risoluzione cambia. Infatti si avrà la necessità di:
- ( n – 1 ) equazioni ai nodi (dove n rappresenta il numero di nodi presenti nel circuito).
- l – p – ( n – 1 ) equazioni alle maglie (dove l rappresenta il numero di rami elettrici e p il numero di rami che possiedono generatori di corrente).
Ad esempio il seguente circuito necessita di 4 equazioni totali:
\(
\left (n-1 \right ) = \left (2-1 \right ) = 1 eq.nodi
\)
\(
l – p – \left (n-1 \right ) = 5 – 1 – 1 = 3 eq.maglie
\)
