Metodo Millmann: risoluzione reti lineari
Calcolare facilmente la tensione ai capi di un ramo nei circuiti a due nodi
Il teorema di Millmann, applicabile solamente a circuiti lineari formati da due nodi, permette di calcolare la tensione ai capi del circuito. Studiando la dimostrazione di tale teorema, infatti, noteremo che si appoggia alle regole KCL e KVL del metodo Kirchhoff.
Partiamo da uno schema generico ponendoci come obiettivo il calcolo della tensione tra i nodi A e B.
Nel nodo A possiamo scrivere l’equazione ai nodi (KCL) descritta del metodo Kirchhoff:
La corrente del ramo centrale (I2) è facilmente ricavabile dal rapporto:
\(I_2 = \frac{U_{AB}}{R3+R4}\)mentre la corrente del ramo di sinistra (I1) è calcolabile, grazie all’ausilio delle equazioni alle maglie del metodo Kirchhoff (KVL), con la relazione:
\(I_1 = \frac{E – U_{AB}}{R1+R2}\)A questo punto possiamo sostituire le equazioni appena ricavate nella prima equazione che abbiamo definito (ovvero quella ricavata tramite KCL):
\(\frac{E – U_{AB}}{R1+R2} = \frac{U_{AB}}{R3+R4} + I_3\)Sapendo che la conduttanza G è l’inverso della resistenza R (G = 1/R) possiamo definire la conduttanza G12 (formata dalla serie R1+R2):
\(G_{12} = \frac{1}{R1+R2}\)e la conduttanza G34, formata dalla serie R3+R4:
\(G_{34} = \frac{1}{R3+R4}\)Ora possiamo banalmente sostituire le conduttanze al posto delle serie di resistenze
\(G_{12}\cdot (E – U_{AB}) =U_{AB}\cdot G_{34} + I_3\)e riordinando l’equazione come segue
\(G_{12}U_{AB} + G_{34} U_{AB}= – I_3 + G_{12} E1\)si può notare la possibilità di isolare UAB
\(U_{AB}(G_{12}+G_{34} )= – I_3 + E1(G_{12})\)ottenendo di fatto la relazione risolutiva del teorema di Millman.
\(U_{AB}=\frac{ E1G_{12}- I_3}{G_{12}+G_{34}}\)L’equazione appena ricava, ovviamente, è specifica di questo schema ma ci permette di notare che a numeratore sono presenti le correnti di cortocircuito di ogni ramo provvisto di generatore di tensione (E1G12) e le correnti imposte da eventuali generatori di corrente ed infine, mentre a denominatore si trova la sommatoria aritmetica delle conduttanze di ogni singolo ramo.
Pertanto è possibile generalizzare l’equazione come segue:
\(U_{AB}=\frac{ \sum (E\cdot G)- \sum I_(gen)}{\sum G}\)Infine, conoscendo la tensione ai capi di due nodi e i carichi presenti nel circuito stesso, è possibile ricavarsi le correnti di ogni ramo.
